$R- \left\{n\mathrm{\pi } : n\in Z\right\}$  এবং রেঞ্জ = R - (- 1, 1) এটি কার ডোমেন?

একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ডোমেন (domain) হলো সেই সকল ইনপুট মানের সেট যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং রেঞ্জ (range) হলো ফাংশনটির সম্ভাব্য আউটপুট মানের সেট। প্রদত্ত ডোমেন এবং রেঞ্জ বিশ্লেষণ করে সঠিক ত্রিকোণমিতিক ফাংশনটি নির্ণয় করতে হবে।

প্রদত্ত ডোমেন হলো \(R - \left\{ n\pi : n \in Z \right\}\) এবং রেঞ্জ হলো \(R - (-1, 1)\)।

আমরা প্রতিটি বিকল্প ফাংশনের ডোমেন এবং রেঞ্জ পর্যালোচনা করি:

    
• $\tan \theta$ (ট্যান থিটা):
      

  ডোমেন: \(R - \left\{ (2n+1)\frac{\pi}{2} : n \in Z \right\}\) (যেখানে \(n\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা)। কারণ \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\) এবং \(\cos\theta = 0\) হলে \(\tan\theta\) অসংজ্ঞায়িত হয়। \(\cos\theta = 0\) হয় যখন \(\theta = (2n+1)\frac{\pi}{2}\)।

      

  রেঞ্জ: \(R\) (সকল বাস্তব সংখ্যা)।

      

  এটি প্রদত্ত ডোমেন বা রেঞ্জের সাথে মেলে না।

    
• $cot \theta$ (কোট থিটা):
      

  ডোমেন: \(R - \left\{ n\pi : n \in Z \right\}\)। কারণ \(\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\) এবং \(\sin\theta = 0\) হলে \(\cot\theta\) অসংজ্ঞায়িত হয়। \(\sin\theta = 0\) হয় যখন \(\theta = n\pi\)।

      

  রেঞ্জ: \(R\) (সকল বাস্তব সংখ্যা)।

      

  এই ফাংশনের ডোমেন প্রদত্ত ডোমেনের সাথে মিললেও এর রেঞ্জ প্রদত্ত রেঞ্জের সাথে মেলে না।

    
• $\cos \theta$ (কস থিটা):
      

  ডোমেন: \(R\) (সকল বাস্তব সংখ্যা)।

      

  রেঞ্জ: \([-1, 1]\) (অর্থাৎ \(-1\) থেকে \(1\) পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা)।

      

  এটি প্রদত্ত ডোমেন বা রেঞ্জের সাথে মেলে না।

    
• $\cos ec\theta$ (কোসেক থিটা):
      

  আমরা জানি, \(\operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta}\)।

      

  ডোমেন: \(\operatorname{cosec}\theta\) অসংজ্ঞায়িত হবে যখন \(\sin\theta = 0\)। \(\sin\theta = 0\) হয় যখন \(\theta\) এর মান \(\pi\) এর যেকোনো পূর্ণসাংখ্যিক গুণিতক হয়। অর্থাৎ, \(\theta = n\pi\), যেখানে \(n\) যেকোনো পূর্ণসংখ্যা (\(n \in Z\))।

      

  সুতরাং, \(\operatorname{cosec}\theta\) এর ডোমেন হলো \(R - \left\{ n\pi : n \in Z \right\}\) যা প্রদত্ত ডোমেনের সাথে হুবহু মিলে যায়।

      

  রেঞ্জ: আমরা জানি, \(-1 \le \sin\theta \le 1\)।

      

  যখন \(\sin\theta\) এর মান \(0\) এর কাছাকাছি হয় (কিন্তু \(0\) নয়), তখন \(\operatorname{cosec}\theta\) এর পরম মান (absolute value) অনেক বড় হয়।

      

  যখন \(\sin\theta = 1\), তখন \(\operatorname{cosec}\theta = 1\)।

      

  যখন \(\sin\theta = -1\), তখন \(\operatorname{cosec}\theta = -1\)।

      

  যেহেতু \(-1 < \sin\theta < 1\) এর জন্য \(\frac{1}{\sin\theta}\) এর পরম মান \(1\) এর চেয়ে বড় হয়, এবং \(\sin\theta \ne 0\), সেহেতু \(\operatorname{cosec}\theta\) এর মান \(-1\) এবং \(1\) এর মধ্যবর্তী কোনো সংখ্যা হতে পারে না (অর্থাৎ, \(-1\) ও \(1\) এর মাঝের মানগুলো গ্রহণ করতে পারে না)।

      

  সুতরাং, \(\operatorname{cosec}\theta\) এর রেঞ্জ হলো \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\)। এই সেটটিকে \(R - (-1, 1)\) আকারেও প্রকাশ করা যায়, যা প্রদত্ত রেঞ্জের সাথে হুবহু মিলে যায়।

উপরিউক্ত বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায় যে, \(\operatorname{cosec}\theta\) ফাংশনের ডোমেন \(R - \left\{ n\pi : n \in Z \right\}\) এবং রেঞ্জ \(R - (-1, 1)\) উভয়ই প্রদত্ত শর্তের সাথে মিলে যায়।